Ιδέες, σκέψεις και ότι μπορείς να φανταστείς.

Η θεωρία πιθανοτήτων έχει ως αντικείμενο τη μελέτη κάποιων μαθηματικών υποδειγμάτων τα οποία μπορούμε να τα ονομάσουμε και στοχαστικά υποδείγματα. Τα στοχαστικά υποδείγματα χρησιμοποιούνται κυρίως για την περιγραφή στοχαστικών ή αλλιώς τυχαίων πειραμάτων.

Το βασικό στοιχείο που περιγράφει τα τυχαία πειράματα είναι ότι οι συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιούνται δεν προκαθορίζουν το αποτέλεσμα, προκαθορίζουν μόνο το σύνολο των αποτελεσμάτων. Γι’ αυτόν ακριβώς το λόγο τα ονομάζουμε και “τυχαία”. Ένα παράδειγμα τυχαίου πειράματος είναι η ρίψη ενός ζαριού, όπου δεν μπορούμε να καθορίσουμε το αποτέλεσμα της ρίψης αλλά ξέρουμε το σύνολο των αποτελεσμάτων αυτού του πειράματος, δηλαδή το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να είναι κορώνα ή γράμματα.

Πάνω στο παραπάνω κριτήριο στηρίζονται οι πιθανότητες. Μπορούμε να πούμε ότι η Στατιστική και οι Πιθανότητες αποτελούν μαζί μία πειραματική επιστήμη. Οι Πιθανότητες με τα θεωρήματά τους βρίσκουν την εφαρμογή τους πάνω στον κλάδο της Στατιστικής. Αν δεν υπήρχε η έννοια της τυχαιότητας θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε κάποια άλλη επιστήμη για την εξαγωγή των συμπερασμάτων που θέλουμε.

Σαν “Δειγματικό χώρο Ω” ενός πειράματος τύχης ονομάζουμε το σύνολο των αποτελεσμάτων του. Τώρα δεν θα αναλύσουμε την έννοια του συνόλου, γιατί όποιος ενδεχομένως να διαβάζει το συγκεκριμένο θέμα το γνωρίζει ήδη. Οι ιδιότητες των συνόλων είναι γνωστές. Το σημείο ω το οποίο ανήκει στο δειγματικό χώρο Ω το ονομάζουμε και δειγματικό σημείο.

Πώς όμως μπορούμε να γνωρίζουμε το δειγματικό χώρο; Ο δειγματικός χώρος μπορεί να είναι πεπερασμένος, αριθμήσιμα άπειρος ή και μη αριθμήσιμος. Οι δύο πρώτες περιπτώσεις έχουν να κάνουν με έναν διακριτό δειγματικό χώρο, ενώ η τελευταία με ένα συνεχή.

Ο δειγματικός χώρος Ω ονομάζεται ως βέβαιο ενδεχόμενος, αφού η πιθανότητα να συμβεί είναι 1. Ένα σύνολο Α το οποίο ανήκει στον Ω μπορεί να ονομαστεί και ενδεχόμενο του Ω, ενώ το κενό σύνολο αδύνατο ενδεχόμενο. Αν το Α περιέχει μόνο ένα στοχείο του Ω, τότε το Α ονομάζεται και απλό ενδεχόμενο, αλλιώς αν περιέχει περισσότερα λέγεται σύνθετο ενδεχόμενο. Μπορούμε να σχηματίσουμε πολλές σχέσεις ματαξύ ενδεχομένως, αφού αποτελούν σύνολα. Τέτοιες σχέσεις είναι η τομή, η ένωση δύο ενδεχομένων, το συμπληρωματικό ενδεχόμενο. Δεν θα αναφερθούμε περεταίρω σε τέτοιες περιπτώσεις αφού το ιστολόγιο δεν υποστηρίζει μαθηματικούς τύπους. Τέλος για την αναπαράσταση συνόλων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το διάγραμμα του Venn.

Ο μέσος (mean)μίας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα μέτρο κεντρικής τάσης της μεταβλητής αυτής. Μπορείτε να το συναντήσετε επίσης ως αναμενόμενη τιμή. Γενικά ο μέσος σαν όρος αποδίδεται σαν ο αριθμητικός μέσος.

Αν έχουμε μία τυχαία μεταβλητή Χ, και ως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την f(x), τότε ο μέσος “μ” της μεταβλητής Χ, αν υπάρχει, ορίζεται ως εξής:
μ = S x · f (x) dx

Ο παραπάνω ορισμός ισχύει για συνεχείς μεταβλητές. Τώρα τι γίνεται όταν η τυχαία μας μεταβλητή είναι διακριτή; Έστω ότι έχουμε συνάρτηση πιθανότητας την P ( Χ=x ). Ο μέσος της τυχαίας μεταβλητής Χ ορίζεται ως εξής:
μ= Σ x · P (X = x)

Εμπειρικά, η έννοια του αριθμητικού μέσου για ένα δείγμα – σύνολο παρατηρήσεων μας επιστρέφει ένα μέτρο κεντρικής τιμής για το σύνολο αυτό. Το μέτρο αυτό μας δίνει μία εκτίμηση του μέσου μ της τυχαίας μεταβλητής Χ από την οποία έχουμε συλλέξει το δείγμα μας.

Υπάρχουν πολλά είδη μέσων όπως είναι ο κοινός αριθμητικός μέσος, ο γεωμετρικός μέσος, ο σταθμικός μέσος κλπ. Αυτά θα τα δούμε ελπίζω σε κάποιο από τα επόμενα θέματα. Ας εστιάσουμε λίγο περισσότερο στον αριθμητικό μέσο στον οποίο αναφερθήκαμε και πιο πάνω.

Όπως είπαμε, ο αριθμητικός μέσος είναι ένα μέτρο κεντρικής τάσης. Για τον υπολογισμό του δίνουμε το ίδιο βάρος (στάθμιση) σε κάθε συχνότητα εμφάνισης των παρατηρήσεων, αθροίζουμε δηλαδή όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το συνολικό αριθμό τους.

Αν έχουμε ήδη δοσμένες τις συχνότητες εμφάνισης των παρατηρήσεων, τότε για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου πολλαπλασιάζουμε την τιμή της παρατήρησης με τη συχνότητά της, τα αθροίζουμε και διαιρούμε με τον αριθμό των ομάδων για αυτές τις συχνότητες.